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第一章 函数、极限、连续1

学习提要1

考试要求1

本章知识框架图2

基础知识讲解3

一、函数3

（一）函数的概念及表示法3

（二）函数的性质3

（三）常见函数4

二、极限5

（一）极限的概念5

（二）极限的性质5

（三）极限存在准则6

（四）极限的四则运算法则6

（五）两个重要极限6

（六）无穷小、无穷大6

三、连续7

（一）连续的概念7

（二）间断点7

（三）连续函数的性质8

典型例题与方法技巧8

一、函数8

题型1——利用函数的概念解题8

题型2——利用函数的性质解题8

题型3——常见函数的类型9

二、极限10

题型1——数列极限10

题型2——函数极限12

题型3——用函数解数列极限19

题型4——含参数的极限问题20

三、函数连续性与间断点21

题型1——函数的连续性21

题型2——间断点类型的判断22

本章同步练习题23

一、选择题23

二、填空题25

三、解答题25

同步练习题答案解析26

一、选择题26

二、填空题28

三、解答题31

第二章 一元函数微分学35

学习提要35

考试要求35

本章知识框架图36

基础知识讲解37

一、导数与微分37

（一）导数与微分的概念37

（二）导数的几何意义与物理意义37

（三）导数的计算38

（四）连续、可导与可微的关系40

（五）一阶微分形式的不变性40

二、微分中值定理40

（一）罗尔定理40

（二）拉格朗日中值定理40

（三）柯西中值定理41

（四）泰勒中值定理41

三、导数的应用41

（一）洛必达法则41

（二）判断函数单调性42

（三）函数的极值与最值42

（四）曲线凹凸性、拐点及渐近线43

（五）函数图形的描绘43

（六）方程的根44

（七）几何应用44

典型例题与方法技巧46

一、导数与微分46

题型1——导数概念的直接应用46

题型2——导数的计算49

题型3——高阶导数的计算53

题型4——导数与连续的关系56

二、微分中值定理57

题型1——罗尔定理57

题型2——拉格朗日中值定理58

题型3——柯西中值定理59

题型4——泰勒中值定理60

三、简单的应用60

题型1——洛必达法则的应用60

题型2——判断函数的单调性61

题型3——求函数的极值与最值62

题型4——曲线凹凸性、拐点及渐近线63

题型5——方程的根66

题型6——不等式证明67

题型7——几何应用69

本章同步练习题71

一、选择题71

二、填空题72

三、解答题72

同步练习题答案解析73

一、选择题73

二、填空题75

三、解答题77

第三章 一元函数积分学83

学习提要83

考试要求83

本章知识框架图84

基础知识讲解85

一、不定积分85

（一）原函数和不定积分的概念85

（二）不定积分的性质85

（三）不定积分的计算85

二、定积分88

（一）定积分的概念88

（二）定积分的性质89

（三）积分上限的函数90

（四）定积分的计算90

（五）定积分的应用91

三、反常积分93

（一）无穷限的反常积分93

（二）瑕积分94

典型例题与方法技巧94

一、不定积分94

题型1——原函数与不定积分的概念及性质94

题型2——不定积分的计算96

二、定积分103

题型1——定积分的概念及性质103

题型2——定积分的计算105

题型3——变限积分108

题型4——定积分的应用110

三、反常积分116

题型1——无穷限的反常积分116

题型2——瑕积分117

本章同步练习题118

一、选择题118

二、填空题119

三、解答题120

同步练习题答案解析121

一、选择题121

二、填空题123

三、解答题125

第四章 向量代数和空间解析几何（数一）131

学习提要131

考试要求131

本章知识框架图132

基础知识讲解133

一、向量代数133

（一）空间直角坐标系133

（二）向量的相关概念133

（三）向量的运算134

（四）向量的关系135

二、空间平面与直线135

（一）平面方程135

（二）空间直线方程136

（三）平面与直线的位置关系136

（四）平面束方程137

（五）距离公式137

三、曲面与空间曲线138

（一）旋转曲面138

（二）柱面138

（三）球面139

（四）空间曲线139

典型例题与方法技巧140

一、向量代数140

题型1——向量的数量积140

题型2——向量的向量积141

题型3——向量的混合积142

二、空间平面与直线142

题型1——求空间平面与直线方程142

题型2——求位置关系144

题型3——计算空间距离145

三、曲面与空间曲线147

题型1——求柱面方程147

题型2——求旋转曲面方程148

题型3——求投影曲线方程148

本章同步练习题149

一、选择题149

二、填空题149

三、解答题150

同步练习题答案解析150

一、选择题150

二、填空题151

三、解答题153

第五章 多元函数微分学155

学习提要155

考试要求155

本章知识框架图156

基础知识讲解157

一、多元函数的相关概念157

（一）多元函数的概念157

（二）二元函数的几何意义157

（三）二元函数的极限157

（四）二元函数的连续性157

（五）有界闭区域上多元函数的性质157

二、偏导数与全微分158

（一）偏导数158

（二）全微分161

（三）连续、偏导与全微分之间的关系162

三、多元函数微分学的应用162

（一）极值与最值162

（二）几何应用（数一）164

（三）方向导数与梯度（数一）164

典型例题与方法技巧165

一、多元函数的相关概念165

题型1——二元函数极限的相关问题165

题型2——二元函数连续性的相关问题166

二、偏导数与全微分167

题型1——复合函数偏导与全微分167

题型2——隐函数偏导与全微分169

题型3——高阶偏导数171

题型4——多元函数连续、偏导与全微分之间的关系172

三、多元函数微分学的应用175

题型1——极值与最值175

题型2——几何应用（数一）178

题型3——方向导数与梯度（数一）179

本章同步练习题181

一、选择题181

二、填空题182

三、解答题182

同步练习题答案解析183

一、选择题183

二、填空题185

三、解答题187

第六章 多元函数积分学191

学习提要191

考试要求191

本章知识框架图192

基础知识讲解193

一、二重积分193

（一）二重积分的概念及性质193

（二）二重积分的计算194

（三）二重积分的应用（数一）194

二、三重积分（数一）195

（一）三重积分的概念及性质195

（二）三重积分的计算196

（三）三重积分的应用196

三、曲线积分（数一）197

（一）第一类曲线积分197

（二）第二类曲线积分199

（三）两类曲线积分间的关系200

（四）格林公式与路径无关定理200

（五）二元函数的全微分200

四、曲面积分（数一）201

（一）第一类曲面积分201

（二）第二类曲面积分202

（三）两类曲面积分间的关系203

（四）高斯公式与斯托克斯公式203

（五）散度与旋度203

典型例题与方法技巧204

一、二重积分204

题型1——二重积分的概念及性质204

题型2——二重积分的计算205

题型3——二重积分的应用（数一）210

二、三重积分（数一）211

题型1——三重积分的概念及性质211

题型2——三重积分的计算212

题型3——三重积分的应用214

三、曲线积分（数一）215

题型1——有关第一类曲线积分的计算问题215

题型2——有关第二类曲线积分的计算问题216

题型3——两类曲线积分之间的关系218

题型4——格林公式与路径无关定理219

题型5——利用二元函数的全微分求积分222

四、曲面积分（数一）223

题型1——有关第一类曲面积分的计算问题223

题型2——有关第二类曲面积分的计算问题224

题型3——两类曲面积分之间的关系227

题型4——斯托克斯公式228

题型5——散度与旋度229

本章同步练习题230

一、选择题230

二、填空题231

三、解答题232

同步练习题答案解析232

一、选择题232

二、填空题235

三、解答题236

第七章 无穷级数（数一）239

学习提要239

考试要求239

本章知识框架图240

基础知识讲解241

一、常数项级数241

（一）数项级数241

（二）正项级数241

（三）交错级数243

（四）常数项级数的性质243

二、幂级数244

（一）相关概念及性质244

（二）幂级数展开245

（三）幂级数的运算法则246

三、傅里叶级数247

（一）傅里叶级数概念247

（二）狄利克雷收敛定理247

（三）正弦级数、余弦级数247

典型例题与方法技巧247

一、常数项级数247

题型1——正项级数敛散性判别247

题型2——交错级数敛散性判别252

题型3——任意项级数敛散性判别253

二、幂级数253

题型1——求幂级数的收敛半径、收敛区间或收敛域253

题型2——幂级数展开255

题型3——幂级数求和258

三、傅里叶级数261

题型1——收敛定理及相关问题261

题型2——傅里叶级数展开262

本章同步练习题263

一、选择题263

二、填空题265

三、解答题266

同步练习题答案解析267

一、选择题267

二、填空题270

三、解答题272

第八章 常微分方程277

学习提要277

考试要求277

本章知识框架图278

基础知识讲解279

一、几个基本概念279

（一）微分方程279

（二）微分方程的阶279

（三）常微分方程279

（四）线性微分方程279

（五）微分方程的解、通解279

（六）初始条件、特解279

（七）线性相关、线性无关的概念279

（八）齐次线性方程与非齐次线性方程279

二、一阶微分方程求解280

（一）变量可分离的微分方程280

（二）齐次微分方程280

（三）一阶线性微分方程280

（四）伯努利方程（数一）281

（五）全微分方程（数一）281

（六）可用简单的变量代换求解的某些微分方程（数一）281

三、可降阶的高阶方程求解281

（一）y（n）＝f（x）型281

（二）y″＝f（x，y′）型282

（三）y″＝f（y，y′）型282

四、高阶线性微分方程282

（一）线性微分方程解的性质及结构282

（二）二阶常系数齐次线性微分方程283

（三）二阶常系数非齐次线性微分方程283

（四）n阶常系数齐次线性微分方程283

五、欧拉方程（数一）284

典型例题与方法技巧284

一、一阶微分方程284

题型1——变量可分离的微分方程284

题型2——齐次方程285

题型3——一阶线性微分方程286

题型4——伯努利方程（数一）288

题型5——全微分方程（数一）288

二、可降阶的高阶微分方程289

题型1——y（n）＝f（x）289

题型2——y″＝f（x，y′）289

题型3——y″＝f（y，y′）290

三、高阶线性微分方程291

题型1——二阶常系数齐次线性微分方程291

题型2——二阶常系数非齐次线性微分方程291

题型3——n阶常系数齐次线性微分方程294

四、欧拉方程（数一）295

五、常微分方程的应用295

本章同步练习题296

一、选择题296

二、填空题298

三、解答题298

同步练习题答案解析299

一、选择题299

二、填空题301

三、解答题302