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第一章 偏微分方程的定解问题1

1.1 引言1

1.1.1 本书主要研究内容1

1.1.2 偏微分方程的一些基本概念1

习题1.13

1.2 弦的微小横振动3

1.2.1 弦的微小横振动的定义3

1.2.2 弦的微小横振动方程的导出4

1.2.3 弦振动方程的定解条件6

1.2.4 混合问题和Cauchy问题8

1.2.5 高维波动方程8

1.2.6 边值问题9

习题1.29

1.3 热传导方程及其定解条件10

1.3.1 有关场论的一些知识（复习）10

1.3.2 热传导方程11

1.3.3 热传导问题的定解条件13

1.3.4 Cauchy问题15

1.3.5 稳定温度场问题15

1.3.6 低维热传导问题15

1.3.7 非线性偏微分方程和非线性偏微分方程组16

习题1.316

1.4 二阶线性偏微分方程的分类和化简16

1.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简16

1.4.2 两个自变量二阶线性偏微分方程的分类26

1.4.3 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类27

1.4.4 多个自变量二阶线性偏微分方程的化简29

习题1.431

1.5 线性偏微分方程的叠加原理 定解问题的适定性32

1.5.1 叠加原理32

1.5.2 定解问题的适定性34

第二章 行波法 波动方程Cauchy问题的解36

2.1 一维波动方程的Cauchy问题36

2.1.1 一维无界弦的自由振动问题 D'Alembert公式和D'Alembert解法36

2.1.2 无界弦的强迫振动 齐次化原理43

习题2.149

2.2 高维波动方程Cauchy问题的解51

2.2.1 三维波动方程Cauchy问题的解51

2.2.2 二维波动方程Cauchy问题的解54

习题2.255

第三章 分离变量法 微分方程的特征值和特征函数56

3.1 齐次线性方程的齐次边界条件混合问题的分离变量解法56

3.1.1 有界弦的自由振动 分离变量法56

3.1.2 其他定解问题的分离变量法65

习题3.177

3.2 非齐次方程问题的解法77

3.2.1 有界弦的强迫振动 特征函数展开法77

3.2.2 一维非齐次热传导方程混合问题的解法83

3.2.3 Poisson方程边值问题的解法87

习题3.291

3.3 非齐次边界条件问题的解法92

3.3.1 边界条件的齐次化92

3.3.2 方程和边界条件同时齐次化的方法94

习题3.399

3.4 直角坐标系下高维问题的分离变量解法100

3.4.1 齐次方程齐次边界条件问题100

3.4.2 非齐次方程齐次边界条件问题的解法106

3.4.3 非齐次边界条件问题的解107

习题3.4110

3.5 极坐标系下的分离变量法110

3.5.1 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法110

3.5.2 周期边界条件问题的解法115

习题3.5120

3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法 球函数和柱函数121

3.6.1 Bessel方程和Legendre方程的导出121

3.6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法124

3.6.3 Legendre方程的级数解 Legendre多项式127

3.6.4 Bessel方程的级数解 Bessel函数130

3.6.5 圆盘中热传导方程的解138

习题3.6142

3.7 常微分方程的特征值问题 分离变量法的理论基础142

3.7.1 Sturm-Liouville问题142

3.7.2 Sturm-Liouville问题解的性质144

第四章 积分变换法147

4.1 Fourier变换法147

4.1.1 Fourier变换的定义147

4.1.2 Fourier变换的性质149

4.1.3 多元函数的Fourier变换153

4.1.4 函数Fourier变换的例子155

4.1.5 用Fourier变换法求解偏微分方程的定解问题157

习题4.1167

4.2 Laplace变换法168

4.2.1 Laplace变换和逆变换的定义168

4.2.2 Laplace变换的性质169

4.2.3 函数Laplace变换的例子172

4.2.4 Laplace逆变换的求法173

4.2.5 用Laplace变换法求解偏微分方程的定解问题174

习题4.2179

第五章 位势方程的基本解和Green函数解法 3类方程的总结180

5.1 δ函数简介180

5.1.1 δ函数的定义180

5.1.2 δ函数的性质181

5.1.3 多元δ函数182

5.2 位势方程的Green公式和Green函数183

5.2.1 Green公式及其推论183

5.2.2 位势方程的基本解184

5.2.3 位势方程的基本公式186

5.2.4 Poisson方程的Green函数189

5.2.5 解在无穷远处取零值的无界区域上的Green函数192

5.2.6 一般情况下无界区域上的Green函数194

习题5.2195

5.3 利用Green函数求解Poisson方程边值问题的例子195

5.3.1 上半空间中Poisson方程的Dirichlet问题196

5.3.2 上半空间中Poisson方程的Neumann问题197

5.3.3 球中Poisson方程的Dirichlet问题198

习题5.3201

5.4 二维Poisson方程的Green函数解法201

5.4.1 求解区域为有界区域时的一些结果202

5.4.2 求解区域为无界区域时的一些结果203

5.4.3 用对称点方法求Green函数205

5.4.4 用共形映照方法求Green函数209

习题5.4214

5.5 位势方程边值问题解的唯一性和对边界条件的稳定性214

5.5.1 调和函数的平均值公式和极值原理214

5.5.2 有界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性217

5.5.3 无界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性218

5.6 3类方程的总结221

5.6.1 定解问题提法的差异221

5.6.2 极值原理224

5.6.3 解的光滑性224

5.6.4 解对定解条件的依赖范围和解的扰动的传播速度224

5.6.5 关于时间的反演225

第六章 两个自变量的一阶偏微分方程组227

6.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程组227

6.1.1 特征理论和方程的分类227

6.1.2 线性双曲型方程组的化简230

6.1.3 用特征线法求解一阶线性偏微分方程Cauchy问题的例子232

6.1.4 一阶线性双曲型方程组的Cauchy问题234

习题6.1235

6.2 两个自变量的一阶拟线性偏微分方程组236

6.2.1 特征理论和方程组的分类236

6.2.2 拟线性双曲型偏微分方程组的化简237

6.2.3 拟线性双曲型方程组的Cauchy问题240

习题6.2241

部分习题参考答案或提示242

参考书目258